Sejam 
 .
Faça um esboço do traço de 
 .
Faça um esboço do traço de
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço do traço da curva 
  para 
 . Vamos usar conceitos de parametrização de curvas no espaço tridimensional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada componente da 
 :
Essas funções nos dizem como cada coordenada 
 , 
  e 
  varia com o parâmetro 
 .
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de cada componente:
- Para 
e , vemos que elas representam uma espiral no plano , já que aumenta e o ângulo faz com que a curva dê voltas em torno da origem.  - A componente 
nos mostra que, conforme aumenta, também aumenta. Isso significa que a espiral está subindo no eixo .  
Passo 4
Vamos relacionar 
  e 
  para entender melhor a projeção no plano 
 :
- Ao calcular 
.  - Isso confirma que a projeção da curva no plano 
é uma espiral que se afasta da origem à medida que aumenta.  
Passo 5
Para o componente 
 , percebemos que:
- 
é sempre maior que .  - Conforme 
aumenta, se aproxima de , mas sempre fica um pouco acima dele.  
Passo 6
Juntando tudo:
- A curva 
é uma espiral que sobe verticalmente no espaço tridimensional.  - Ela começa no ponto 
: .  - À medida que 
aumenta, a espiral dá voltas ao redor do eixo e sobe continuamente.  
Resposta
O traço de 
  é uma espiral ascendente no espaço tridimensional que começa no ponto (0, 0, 2) e, à medida que 
  aumenta, a espiral se afasta da origem no plano 
  enquanto sobe no eixo 
 .