Sejam f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 + 4) e gamma(t) = (t cos t, t sen t, raiz(t^2 + 4)), t ≥ 0.
Faça um esboço do traço de gamma.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço do traço da curva para . Vamos usar conceitos de parametrização de curvas no espaço tridimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada componente da :
Essas funções nos dizem como cada coordenada , e varia com o parâmetro .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de cada componente:
  • Para e , vemos que elas representam uma espiral no plano , já que aumenta e o ângulo faz com que a curva dê voltas em torno da origem.
  • A componente nos mostra que, conforme aumenta, também aumenta. Isso significa que a espiral está subindo no eixo .

Passo 4

Vamos relacionar e para entender melhor a projeção no plano :
  • Ao calcular .
  • Isso confirma que a projeção da curva no plano é uma espiral que se afasta da origem à medida que aumenta.

Passo 5

Para o componente , percebemos que:
  • é sempre maior que .
  • Conforme aumenta, se aproxima de , mas sempre fica um pouco acima dele.

Passo 6

Juntando tudo:
  • A curva é uma espiral que sobe verticalmente no espaço tridimensional.
  • Ela começa no ponto : .
  • À medida que aumenta, a espiral dá voltas ao redor do eixo e sobe continuamente.

Resposta

O traço de é uma espiral ascendente no espaço tridimensional que começa no ponto (0, 0, 2) e, à medida que aumenta, a espiral se afasta da origem no plano enquanto sobe no eixo .

Exercícios relacionados