Sejam
.
Faça um esboço do traço de
.
Faça um esboço do traço de
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço do traço da curva
para
. Vamos usar conceitos de parametrização de curvas no espaço tridimensional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada componente da
:
Essas funções nos dizem como cada coordenada
,
e
varia com o parâmetro
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de cada componente:
- Para
e , vemos que elas representam uma espiral no plano , já que aumenta e o ângulo faz com que a curva dê voltas em torno da origem. - A componente
nos mostra que, conforme aumenta, também aumenta. Isso significa que a espiral está subindo no eixo .
Passo 4
Vamos relacionar
e
para entender melhor a projeção no plano
:
- Ao calcular
. - Isso confirma que a projeção da curva no plano
é uma espiral que se afasta da origem à medida que aumenta.
Passo 5
Para o componente
, percebemos que:
-
é sempre maior que . - Conforme
aumenta, se aproxima de , mas sempre fica um pouco acima dele.
Passo 6
Juntando tudo:
- A curva
é uma espiral que sobe verticalmente no espaço tridimensional. - Ela começa no ponto
: . - À medida que
aumenta, a espiral dá voltas ao redor do eixo e sobe continuamente.
Resposta
O traço de
é uma espiral ascendente no espaço tridimensional que começa no ponto (0, 0, 2) e, à medida que
aumenta, a espiral se afasta da origem no plano
enquanto sobe no eixo
.