Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (x, 1) 4-x yx^2+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
lim(x,y)to(x,1)4 - x,yx^2 + 3y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e continuidade. Vamos usar o fato de que, se uma função é contínua num ponto cujo denominador não zera, então o limite coincide com o valor da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, observamos o denominador
x^2 + 3y^2
que, para qualquer (x,y), satisfaz x^2+3y^2>=0 e só se anula em (0,0). Como o ponto de interesse é (x,1), temos
x^2+3cdot1^2=x^2+3>0
para todo xinR. Logo, a função é contínua em qualquer ponto da forma (x,1).

Passo 3

Pelo teorema da continuidade do quociente, o limite pode ser obtido por substituição direta de y=1. Assim,
lim(x,y)to(x,1)4 - x,yx^2 + 3y^2 =4 - xcdot1,x^2+3cdot1^2, =4 - xx^2+3

Resposta

lim(x,y)(x,1)4 - x,yx^2 + 3y^2 =4 - xx^2 + 3

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