Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando .
O conteúdo aqui é cálculo de limite em e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para mostrar que esse limite existe e vale um certo valor.
Passo 2
Antes de provar rigorosamente, podemos testar alguns caminhos simples para intuir o valor do limite. Por exemplo, se seguirmos a reta , temos
Se seguirmos a parábola ,
Esses exemplos sugerem que o limite é .
Passo 3
Agora, para uma prova geral, note que para todo temos . Logo,
Como (x,y)to(0,0) implica xto0, o lado direito |x|to0. Pelo Teorema do Confronto,