Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) 0 x y^4x^2+y^4

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x,y^4x^2+y^4
quando (x,y)to(0,0).
O conteúdo aqui é cálculo de limite em R^2 e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para mostrar que esse limite existe e vale um certo valor.

Passo 2

Antes de provar rigorosamente, podemos testar alguns caminhos simples para intuir o valor do limite. Por exemplo, se seguirmos a reta x=0, temos
f(0,y)=0cdot y^40+y^4=0
Se seguirmos a parábola x=y^2,
f(y^2,y) =y^2cdot y^4(y^2)^2+y^4 =y^6y^4+y^4 =y^62y^4 =y^22to0 quando yto0
Esses exemplos sugerem que o limite é 0.

Passo 3

Agora, para uma prova geral, note que para todo (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^4>= y^4. Logo,
|x,y^4x^2+y^4| <=|x|,y^4y^4 =|x|
Como (x,y)to(0,0) implica xto0, o lado direito |x|to0. Pelo Teorema do Confronto,
x,y^4x^2+y^4longrightarrow0

Resposta

0

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