Esboce as curvas de nível para as funções abaixo (escolha pelo menos quatro níveis).
f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2

Passo 1

O enunciado nos pede esboçar as curvas de nível da função
f(x,y)=raiz36-9x^2-4y^2.
Curvas de nível são os conjuntos de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=k para valores fixos de k. Vamos usar álgebra para obter, para cada nível k, a equação implícita do contorno, que será uma elipse.

Passo 2

Seja k um nível com 0<= k<= 6. Impomos
raiz36-9x^2-4y^2=k
Elevando ao quadrado,
36-9x^2-4y^2 = k^2 Longrightarrow 9x^2+4y^2 = 36 - k^2
Isso é a equação geral de uma elipse centrada na origem.

Passo 3

Escolhemos quatro níveis representativos:
;k=0,;k=2,;k=4,;k=6

Passo 4

Para cada k obtemos:
  1. k=0:
9x^2+4y^2 = 36 Long<=ftrightarrow x^24 + y^29=1,
elipse com semi-eixos ax=2 e ay=3.
  1. k=2:
9x^2+4y^2 = 36-4 = 32 Long<=ftrightarrow x^232/9 + y^28=1,
ou seja, semi-eixos
,ax=raiztfrac329=tfrac4raiz23,
,ay=raiz8=2raiz2.
  1. k=4:
9x^2+4y^2 = 36-16 = 20 Long<=ftrightarrow x^220/9 + y^25=1,
com
,ax=raiztfrac209=tfrac2raiz53,
,ay=raiz5.
  1. k=6:
9x^2+4y^2 = 36-36 = 0 Long<=ftrightarrow x=0,;y=0,
curva degenerada reduzida ao ponto central.

Passo 5

Em um esboço no plano xy, desenhamos quatro elipses concêntricas, sendo a maior dada por k=0 (semi-eixos 2 e 3), depois a de k=2, a de k=4, e por fim o ponto em k=6. À medida que k cresce, a elipse encolhe até colapsar em (0,0).

Resposta

As curvas de nível são elipses centradas na origem, dadas genericamente por
9x^2+4y^2 = 36 - k^2,
para k=0,2,4,6, com semi-eixos listados acima.

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