Esboce as curvas de nível para as funções abaixo (escolha pelo menos quatro níveis).
Passo 1
O enunciado nos pede esboçar as curvas de nível da função
.
Curvas de nível são os conjuntos de pontos que satisfazem
para valores fixos de
. Vamos usar álgebra para obter, para cada nível
, a equação implícita do contorno, que será uma elipse.
Curvas de nível são os conjuntos de pontos
Passo 2
Seja
um nível com
. Impomos
Elevando ao quadrado,
Isso é a equação geral de uma elipse centrada na origem.
Passo 3
Escolhemos quatro níveis representativos:
Passo 4
Para cada
obtemos:
-
:
elipse com semi-eixos
e
.
-
:
ou seja, semi-eixos
,
.
-
:
com
,
.
-
:
curva degenerada reduzida ao ponto central.
Passo 5
Em um esboço no plano
, desenhamos quatro elipses concêntricas, sendo a maior dada por
(semi-eixos
e
), depois a de
, a de
, e por fim o ponto em
. À medida que
cresce, a elipse encolhe até colapsar em
.
Resposta
As curvas de nível são elipses centradas na origem, dadas genericamente por
para
, com semi-eixos listados acima.