Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
  1. lim (x, y) (2,1) x^2 y+x y^2x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir o limite da função x^2 y + x y^2x^2 - y^2 quando (x, y) se aproxima de (2, 1). Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir os valores e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o numerador e o denominador separadamente no ponto (2, 1).
No numerador:
x^2 y + x y^2 = (2)^2 cdot 1 + 2 cdot (1)^2 = 4 cdot 1 + 2 cdot 1 = 4 + 2 = 6
No denominador:
x^2 - y^2 = (2)^2 - (1)^2 = 4 - 1 = 3

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na função original para encontrar o limite:
lim (x, y) (2,1) x^2 y + x y^2x^2 - y^2 = 63 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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