Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(i) lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y z^2+x z^2x^2+y^2+z^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de limites multivariáveis. Para resolver, vamos analisar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar o caminho mais direto: deixar que , e tendam a zero independentemente. Substituindo , e na função, obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Vamos tentar aproximar o limite ao longo do eixo , onde e . Substituindo, a função vira . Então, nesse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho onde x (k x) + (k x) (l x)^2 + x (l x)^2x^2 + (k x)^2 + (l x)^4 = k x^2 + k l^2 x^3 + l^2 x^3x^2 + k^2 x^2 + l^4 x^4 e k x^2 + termos de ordem superior(1 + k^2) x^2 + termos de ordem superior , onde e são constantes. Isso nos ajuda a ver como o limite se comporta dependendo das proporções de , e . Substituindo:
Simplificando o numerador e o denominador:
À medida que , os termos de ordem superior desaparecem, então a expressão se aproxima de .

Passo 5

Percebemos que o limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , obtemos .
  • Se , obtemos .
  • Se , obtemos .
Como diferentes caminhos ( diferentes) nos dão limites diferentes, isso significa que o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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