Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(i)
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro da matéria de limites multivariáveis. Para resolver, vamos analisar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar o caminho mais direto: deixar que
,
e
tendam a zero independentemente. Substituindo
,
e
na função, obtemos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos investigar mais a fundo.
Passo 3
Vamos tentar aproximar o limite ao longo do eixo
, onde
e
. Substituindo, a função vira
. Então, nesse caminho, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caminho onde
e
, onde
e
são constantes. Isso nos ajuda a ver como o limite se comporta dependendo das proporções de
,
e
. Substituindo:
Simplificando o numerador e o denominador:
À medida que
, os termos de ordem superior desaparecem, então a expressão se aproxima de
.
Passo 5
Percebemos que o limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, obtemos . - Se
, obtemos . - Se
, obtemos .
Como diferentes caminhos (
diferentes) nos dão limites diferentes, isso significa que o limite não é único.
Resposta
O limite não existe.