Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência de uma série infinita. A série dada é:
Vamos usar o Teste da Razão para descobrir até onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que valor de a série vai somar de forma que o resultado não seja infinito. Para encontrar isso, usamos o Teste da Razão, que analisa o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão. Pegamos o termo geral da série:
E calculamos o limite:
Passo 4
Substituindo an+1an = (-2)^(n+1)+1 x^n+1(n+1)^3+1 cdot n^3+1(-2)^n+1 x^n e an+1an = (-2) cdot x cdot n^3+1(n+1)^3+1 :
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | -2x cdot n^3+1(n+1)^3+1 | tende ao infinito:
L = | -2x | cdot limn to infty n^3+1(n+1)^3+1
Simplificando mais:
L = 2|x| cdot n^3(n+1)^3 = 2|x| cdot ( nn+1 )^3
Como limn to infty ( nn+1 )^3 = 1 é muito grande, os termos L = 2|x| tornam-se insignificantes:
E sabemos que:
Então:
Passo 6
Para a série convergir, o limite 2|x| < 1 deve ser menor que 1:
|x| < 12
Resolvendo para :
Isso significa que o raio de convergência é .
Passo 7
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, analisamos os pontos onde sumn=0^infty (-2)^n+1 (12)^nn^3+1 = sumn=0^infty (-1)^n+1n^3+1 , ou seja, sumn=0^infty (-2)^n+1 (-12)^nn^3+1 = sumn=0^infty 1n^3+1 e .
Vamos verificar se a série converge nesses pontos.
Para :
Essa série converge pela Convergência Absoluta, já que é uma série p com .
Para :
Essa também converge pela mesma razão.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .