Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, a gente quer descobrir qual é o raio e o intervalo de convergência dessa série: . Pra isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a entender onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. A gente pega o termo geral da série, que é , e calcula o limite de quando vai para o infinito.
Passo 3
Agora, vamos calcular esse limite:
limn to infty | ln(n+1)ln n cdot xn+1 |
Sabemos que limn to infty | 1 cdot 0 | = 0 tende para 1 quando cresce, e tende para 0. Portanto, o limite todo fica:
Passo 4
Segundo o Teste da Razão, a série converge se esse limite for menor que 1. Aqui, o limite deu 0, que é menor que 1 para qualquer valor de .
Resposta
A série converge para todos os números reais . Ou seja, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é .