Use série de potências para calcular a integral integral 11+x^5 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando séries de potências. Aqui, vamos trabalhar com séries de potências e integração. Para isso, precisamos expandir em uma série e depois integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Lembramos que a série geométrica é dada por:
11 - u = sumn=0^infty u^n
Essa fórmula é válida quando . No nosso caso, temos , que podemos reescrever como .

Passo 3

Substituindo 11 + x^5 = sumn=0^infty (-x^5)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^5n na série geométrica, conseguimos expandir a fração:
Essa série é válida para , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo da série:
integral 11 + x^5 , dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^5n , dx = sumn=0^infty (-1)^n integral x^5n , dx
Aqui, trocamos a ordem de integração e soma, o que é permitido dentro do intervalo de convergência.

Passo 5

Integrando cada termo individualmente, temos:
integral x^5n , dx = x^5n + 15n + 1 + C
Onde é a constante de integração. Como estamos integrando toda a série, adicionamos a constante apenas no final.

Resposta

Portanto, a integral integral 11+x^5 , dx = sumn=0^infty (-1)^n5n + 1 , x^5n + 1 + C é dada por:

Exercícios relacionados