Use série de potências para calcular a integral
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando séries de potências. Aqui, vamos trabalhar com séries de potências e integração. Para isso, precisamos expandir
em uma série e depois integrar cada termo dessa série.
Passo 2
Lembramos que a série geométrica é dada por:
Essa fórmula é válida quando
. No nosso caso, temos
, que podemos reescrever como
.
Passo 3
Substituindo
na série geométrica, conseguimos expandir a fração:
Essa série é válida para
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo da série:
Aqui, trocamos a ordem de integração e soma, o que é permitido dentro do intervalo de convergência.
Passo 5
Integrando cada termo individualmente, temos:
Onde
é a constante de integração. Como estamos integrando toda a série, adicionamos a constante apenas no final.
Resposta
Portanto, a integral
é dada por: