Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (2,3,0) x y+y z+z xx^2+y^2+z^2

Passo 1

Temos o limite de uma função de três variáveis $ (x,y,z) \to (2,3,0) $ dado por (x,y,z) to (2,3,0) . O conteúdo é limite e continuidade de funções de várias variáveis, e vamos usar que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não se anula.

Passo 2

Observamos que o numerador e o denominador são polinômios, logo contínuos em R^3. Para aplicar substituição direta, verificamos o denominador em (2,3,0): 2^2+3^2+0^2=13neq0 Assim, não há indeterminação.

Passo 3

Agora avaliamos o numerador em (2,3,0): xy+yz+zx=2cdot3+3cdot0+0cdot2=6 Em seguida, avaliamos o denominador em (2,3,0): x^2+y^2+z^2=4+9+0=13

Passo 4

Como a função é contínua no ponto e o denominador não é zero, o limite é dado pelo quociente dos valores obtidos.
Portanto, o limite existe e vale tfrac613.

Resposta

\tfrac{6}{13}

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