(4,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2-y^3x^2-y

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar
lim(x,y)to(0,0) x^2 - y^3x^2 - y
Isso é matéria de limites em várias variáveis. Pra resolver, a gente vai usar a ideia de testar diferentes caminhos (ou trajetórias) até o ponto (0,0) e ver se a função sempre vai pro mesmo valor. Se der valores diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Teoria rápida: em duas variáveis, um limite lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=L só existe se, independente de como você se aproxima de (a,b) (reta, parábola, curva qualquer), o valor de f(x,y) sempre tender a L. Então é comum escolher caminhos simples (linhas, parábolas, etc.) e comparar.

Passo 3

Vamos primeiro na trajetória mais simples, y=0. Substituindo:
f(x,0)=x^2-0^3x^2-0=x^2x^2=1, xneq0
Logo, ao longo de y=0, a função vale sempre 1, então
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=1

Passo 4

Agora uma família de parábolas: y=t,x^2, com tneq1 (pra não zerar o denominador). Substituindo:
num = x^2 - (t,x^2)^3 = x^2 - t^3x^6 = x^2l(1 - t^3x^4r),
den = x^2 - t,x^2 = x^2(1 - t)
Então
fl(x,,t x^2r) =x^2(1 - t^3x^4)x^2(1 - t) =1 - t^3x^41 - t
Quando xto0, o termo t^3x^4to0, e sobra
limxto0fl(x,,t x^2r) =11 - t
Isso depende de t!

Passo 5

A gente já viu que:
  • Se t=0, a trajetória y=0 dá limite 1/(1-0)=1.
  • Se t=2, a trajetória y=2x^2 dá limite 1/(1-2)=-1.
Como aparecem dois valores diferentes (1 e –1), não rola um único limite.

Resposta

O limite não existe.

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