(4,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar
Isso é matéria de limites em várias variáveis. Pra resolver, a gente vai usar a ideia de testar diferentes caminhos (ou trajetórias) até o ponto
e ver se a função sempre vai pro mesmo valor. Se der valores diferentes, o limite não existe.
Passo 2
Teoria rápida: em duas variáveis, um limite
só existe se, independente de como você se aproxima de
(reta, parábola, curva qualquer), o valor de
sempre tender a
. Então é comum escolher caminhos simples (linhas, parábolas, etc.) e comparar.
Passo 3
Vamos primeiro na trajetória mais simples,
. Substituindo:
Logo, ao longo de
, a função vale sempre
, então
Passo 4
Agora uma família de parábolas:
, com
(pra não zerar o denominador). Substituindo:
Então
Quando
, o termo
, e sobra
Isso depende de
!
Passo 5
A gente já viu que:
- Se
, a trajetória dá limite . - Se
, a trajetória dá limite .
Como aparecem dois valores diferentes (1 e –1), não rola um único limite.
Resposta
O limite não existe.