Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Estamos querendo encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função à medida que nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo
por
na função, temos:
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
:
Passo 3
Agora, vamos considerar outro caminho, onde
. Substituindo
por
na função, temos:
Calculando o limite quando
se aproxima de
:
Passo 4
Vamos testar um terceiro caminho, onde
. Substituindo
por
na função, temos:
Calculando o limite quando
se aproxima de
:
Passo 5
Por fim, vamos considerar um caminho geral onde
, onde
é uma constante. Substituindo
por
na função, temos:
Calculando o limite quando
se aproxima de
:
Resposta
O limite
existe e é igual a
.