Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x-y1+x^2+y^2.

Passo 1

Estamos querendo encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função à medida que nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde x - 01 + x^2 + 0^2 = x1 + x^2 . Substituindo limx to 0 x1 + x^2 = 01 + 0 = 0 por na função, temos:
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de :

Passo 3

Agora, vamos considerar outro caminho, onde x - x1 + x^2 + x^2 = 01 + 2x^2 = 0 . Substituindo limx to 0 01 + 2x^2 = 0 por na função, temos:
Calculando o limite quando se aproxima de :

Passo 4

Vamos testar um terceiro caminho, onde x - (-x)1 + x^2 + (-x)^2 = 2x1 + 2x^2 . Substituindo limx to 0 2x1 + 2x^2 = 01 + 0 = 0 por na função, temos:
Calculando o limite quando se aproxima de :

Passo 5

Por fim, vamos considerar um caminho geral onde x - kx1 + x^2 + (kx)^2 = (1 - k)x1 + x^2 + k^2x^2 = (1 - k)x1 + (1 + k^2)x^2 , onde limx to 0 (1 - k)x1 + (1 + k^2)x^2 = 0 é uma constante. Substituindo por na função, temos:
Calculando o limite quando se aproxima de :

Resposta

O limite existe e é igual a .

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