Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, v) \rightarrow(\alpha, n)} \frac{x^{2} y x^{v}}{x^{4}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}\,y\,x^{y}}{x^{4}+4\,y^{2}}
quando (x,y)\to(\alpha,n). O conteúdo aqui é análise de continuidade de funções de duas variáveis e casos em que o denominador se anula.

Passo 2

Primeiro, verificamos se o denominador em (\alpha,n) é diferente de zero. Note que
x^{4}+4\,y^{2}\neq 0
sempre que x^{4} e y^{2} não sejam simultaneamente zero. Logo, se
\alpha^{4}+4\,n^{2}\neq 0,
a função f é contínua em (\alpha,n) e o limite é simplesmente
\lim_{(x,y)\to(\alpha,n)}f(x,y) = \frac{\alpha^{2}\,n\,\alpha^{n}}{\alpha^{4}+4\,n^{2}}.

Passo 3

O único caso potencialmente problemático é quando
\alpha^{4}+4\,n^{2}=0.
Como x^{4}\ge0 e y^{2}\ge0, a soma só é zero se
\alpha=0 \quad\text{e}\quad n=0.
Precisamos, então, estudar o limite em (0,0).

Passo 4

Analisamos \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) por diferentes caminhos. Seja, por exemplo,
y=m\,x^{2},
com m constante. Então
x^{y} = x^{m x^{2}} = e^{m x^{2}\ln x} \to e^{0}=1 \quad\text{quando }x\to0^{+}.
Nesse caminho,
f(x,mx^{2}) \approx \frac{x^{2}\,(m x^{2})\cdot1}{x^{4}+4\,(m x^{2})^{2}} = \frac{m\,x^{4}}{x^{4}(1+4m^{2})} = \frac{m}{1+4m^{2}}.
Como isso depende de m, diferentes valores de m dão limites diferentes. Portanto não há um valor único.

Resposta

Se \alpha^{4}+4\,n^{2}\neq0, então
\lim_{(x,y)\to(\alpha,n)} \frac{x^{2}\,y\,x^{y}}{x^{4}+4\,y^{2}} = \frac{\alpha^{2}\,n\,\alpha^{n}}{\alpha^{4}+4\,n^{2}}.
Se (\alpha,n)=(0,0), o limite não existe.

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