{ }^{a} Questāo. Encontre uma equação do plano tangente à superfície
x y+y z+z x=5
no ponto (1, 2, 1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida implicitamente por
x\,y + y\,z + z\,x = 5
no ponto (1,2,1). O conteúdo é Cálculo Diferencial em várias variáveis e vamos usar gradiente e a fórmula do plano tangente a uma superfície implícita.

Passo 2

Definimos a função
f(x,y,z) = x\,y + y\,z + z\,x - 5
de modo que a superfície é o conjunto \{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=0\}. A equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é dada por
\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0.

Passo 3

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y,z) = \bigl(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z\bigr) = \bigl(y+z,\;x+z,\;x+y\bigr).

Passo 4

Avaliamo-lo em (1,2,1):
\nabla f(1,2,1) = \bigl(2+1,\;1+1,\;1+2\bigr) = (3,2,3).

Passo 5

O plano tangente é
(3,2,3)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,2,1)\bigr)=0,
isto é,
3(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0
que simplifica para
3x + 2y + 3z - 10 = 0.

Resposta

A equação do plano tangente é
3x + 2y + 3z - 10 = 0.

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