Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}}\ Passo 1O enunciado pede calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}}. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e para verificar existência devemos mostrar que o valor é o mesmo em todas as trajetórias de aproximação ou encontrar duas trajetórias que dêem resultados diferentes. Passo 2Tomemos a trajetória y=0. Então \frac{x\cdot 0^{4}}{x^{2}+0^{8}} = 0, logo \lim_{(x,0)\to(0,0)} \frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}} = 0. Passo 3Agora tomemos a trajetória x=y^{4}$. Substituindo, fica \frac{(y^{4})\;y^{4}}{(y^{4})^{2} + y^{8}} = \frac{y^{8}}{y^{8}+y^{8}} = \frac{1}{2}. Logo \lim_{y\to 0} \frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}}\Big|_{x=y^{4}} = \tfrac12. Passo 4Como ao aproximar por y=0 obtemos 0 e por x=y^{4} obtemos \tfrac12, o limite não é único. RespostaO limite não existe. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados { }^{a} Questāo. Encontre uma equação do plano tangente à superfície x y+y z+z x=5 no ponto (1, 2, 1). QuestIo. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite năo existe. \lim _{(x, y) \rightarrow(a, a)} \frac{x^{2} y e^{y}}{x^{4}+4 y^{2}} Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. \lim _{(x, v) \rightarrow(\alpha, n)} \frac{x^{2} y x^{v}}{x^{4}+4 y^{2}} Calcule. \int\left(\frac{1}{z}-\frac{3}{z^{2}}\right) d z