Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e para verificar existência devemos mostrar que o valor é o mesmo em todas as trajetórias de aproximação ou encontrar duas trajetórias que dêem resultados diferentes.

Passo 2

Tomemos a trajetória y=0. Então
\frac{x\cdot 0^{4}}{x^{2}+0^{8}} = 0,
logo
\lim_{(x,0)\to(0,0)} \frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}} = 0.

Passo 3

Agora tomemos a trajetória x=y^{4}$. Substituindo, fica
\frac{(y^{4})\;y^{4}}{(y^{4})^{2} + y^{8}} = \frac{y^{8}}{y^{8}+y^{8}} = \frac{1}{2}.
Logo
\lim_{y\to 0} \frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}}\Big|_{x=y^{4}} = \tfrac12.

Passo 4

Como ao aproximar por y=0 obtemos 0 e por x=y^{4} obtemos \tfrac12, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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