Questão 3 . Considere a EDO: x^{\prime \prime}+16 x=\cos 4 t, com x(0)=0 e x^{\prime}(0)=0. Sendo X(s)= \mathcal{L}{x(t)}), qual é a expressão que equivale ao cálculo X(s) na EDO?
(a) \frac{s}{\left(s^{2}+16\right)^{2}}
(b) \frac{s}{\left(s^{2}-16\right)^{2}}
(e) \frac{1}{s^{2}+16}+\frac{s}{\left(s^{2}+16\right)^{2}}
(c) \frac{1}{s^{2}-16}+\frac{1}{(s+4)^{2}(2-4)}
(d) \frac{1}{s^{2}-16}+\frac{1}{(s-4)^{2}(s+4)}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
x'' + 16\,x = \cos(4t)
com condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=0. O objetivo é usar transformada de Laplace para encontrar
\;X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace termo a termo. Para a derivada segunda vale
\mathcal{L}\{x''(t)\} = s^{2}X(s) - s\,x(0) - x'(0)
e, como x(0)=0 e x'(0)=0, isso fica simplesmente s^{2}X(s). Para 16\,x(t) temos
\mathcal{L}\{16\,x(t)\} = 16\,X(s).
No lado direito,
\mathcal{L}\{\cos(4t)\} = \frac{s}{s^{2}+16}.
Portanto a equação transformada é
s^{2}X(s) + 16\,X(s) = \frac{s}{s^{2}+16}.

Passo 3

Colocando X(s) em evidência, obtemos
(s^{2}+16)\,X(s) = \frac{s}{s^{2}+16}.

Passo 4

Isolando X(s), divide-se ambos os lados por (s^{2}+16):
X(s) = \frac{s}{(s^{2}+16)\,(s^{2}+16)} = \frac{s}{\bigl(s^{2}+16\bigr)^{2}}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, a única que coincide é a (a).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{s}{\bigl(s^{2}+16\bigr)^{2}}

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