Questāo 1 . Considere a seguinte EDO: x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+3 y=2 x^{1} e^{x}. Se y_{h}\left(x_{r}\right) é a solução homogênea, o valor de y_{A}(1) é:
(a) c_{1}+c_{2}
(b) c_{1} e^{2}+c_{2} e^{2}
(c) c_{1} e^{-1}+c_{2} e^{-1}
(d) c_{1}+c_{2} e^{-1}
(e) c_{1} e+c_{2} e^{-1}

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de Euler–Cauchy
x^{2}y''-3x\,y'+3y=2x\,e^{x},
diz que y_{h}(x) é a solução homogênea e quer o valor de y_{A}(1). Para isso, primeiro encontramos a parte homogênea y_{h}(x) e depois avaliamos em x=1.

Passo 2

A equação homogênea associada é
x^{2}y''-3x\,y'+3y=0.
No tipo Euler–Cauchy, fazemos y=x^{r}. Então
r(r-1)-3r+3=0\quad\Longrightarrow\quad r^{2}-4r+3=0\quad\Longrightarrow\quad r=1,\,3.
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y_{h}(x)=c_{1}\,x^{1}+c_{2}\,x^{3}=c_{1}x+c_{2}x^{3}.

Passo 3

A avaliação em x=1
y_{h}(1)=c_{1}\cdot1+c_{2}\cdot1^{3}=c_{1}+c_{2}.
Como y_{A}(1) coincide com essa parte avaliada em 1, temos y_{A}(1)=c_{1}+c_{2}.

Resposta

(a) c_{1}+c_{2}

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