Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}},
que é um limite de função de duas variáveis no ponto (0,0). Para decidir se esse limite existe, vamos testar valores ao longo de diferentes trajetórias (caminhos) em direção a (0,0). Se acharmos dois caminhos que levem a limites distintos, o limite geral não existe.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Substituindo em
\frac{x^{2}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}} obtemos
\frac{x^{2}-0^{4}}{x^{2}+0^{2}} =\frac{x^{2}}{x^{2}} =1.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) por (x,0), o valor da função tende a
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=1.

Passo 3

Agora considere o caminho x=0. Substituindo em
\frac{x^{2}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}} obtemos
\frac{0^{2}-y^{4}}{0^{2}+y^{2}} =-\frac{y^{4}}{y^{2}} =-y^{2}.
Ao aproximar (x,y) de (0,0) por (0,y), isso tende a
\lim_{y\to0}(-y^{2})=0.

Passo 4

Vimos que ao longo de y=0 o limite é 1 e ao longo de x=0 o limite é 0. Como esses resultados são diferentes, concluímos que o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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