Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x y-y}{x^{2}-1}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)\to(1,0):\r
\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy - y}{x^2 - 1}.\r
O conteúdo é limite em \mathbb{R}^2 com indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos usar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Observe o numerador e o denominador separadamente: \r
O numerador é\r
xy - y = y\,(x - 1),\r
e o denominador é\r
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).\r
Para x\neq1, podemos cancelar o fator commono (x-1), obtendo\r
\frac{xy - y}{x^2 - 1} = \frac{y\,(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{y}{x+1}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite da forma simplificada:\r
\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{y}{x+1}.\r
Como y\to0 e x+1\to2, pela continuidade das operações temos\r
\frac{y}{x+1}\;\longrightarrow\;\frac{0}{2}=0.\r
Isso mostra que o limite existe e é independente do caminho de aproximação.

Resposta

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