Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{3}}{x^{2}+4 y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y) = \frac{x^{2}y^{3}}{x^{2} + 4y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é cálculo de limite em duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) para mostrar que f(x,y)\to0.

Passo 2

Observamos o valor absoluto de f(x,y):
\bigl|f(x,y)\bigr| = \left|\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2} + 4y^{2}}\right| = \frac{x^{2}\,\bigl|y\bigr|^{3}}{x^{2} + 4y^{2}}.
Note que x^{2}\ge0 e 4y^{2}\ge0, logo x^{2}+4y^{2}\ge x^{2}. Assim,
\frac{x^{2}}{x^{2} + 4y^{2}} \le 1.

Passo 3

Usando a desigualdade anterior, temos
\bigl|f(x,y)\bigr| = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4y^{2}}\;\bigl|y\bigr|^{3} \le 1\cdot \bigl|y\bigr|^{3} = \bigl|y\bigr|^{3}.
Como \bigl|y\bigr|^{3}\to0 quando y\to0, o Teorema do Confronto garante que \bigl|f(x,y)\bigr|\to0.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{3}}{x^{2} + 4y^{2}} = 0.

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