Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis. Vamos usar a simetria radial transformando em função de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Como a expressão depende apenas de x^{2}+y^{2}, definimos
r^{2}=x^{2}+y^{2},
de modo que a função fica
f(r)=\frac{\sqrt{1+r^{2}}-1}{r^{2}}.

Passo 3

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{1+r^{2}}+1:
\frac{\sqrt{1+r^{2}}-1}{r^{2}} =\frac{(\sqrt{1+r^{2}}-1)(\sqrt{1+r^{2}}+1)}{r^{2}(\sqrt{1+r^{2}}+1)} =\frac{1+r^{2}-1}{r^{2}(\sqrt{1+r^{2}}+1)} =\frac{1}{\sqrt{1+r^{2}}+1}.

Passo 4

Agora basta calcular o limite quando r\to0:
\lim_{r\to0}\frac{1}{\sqrt{1+r^{2}}+1} =\frac{1}{\sqrt{1+0}+1} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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