Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. \lim _{(x, y) \rightarrow(a, a)} \frac{x y^{4}}{x^{4}+y^{4}}
Passo 1
O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(a,a)} \frac{x\,y^{4}}{x^{4}+y^{4}}
Isso é um problema de limites de funções de duas variáveis. Vamos usar continuidade de quocientes de polinômios quando o denominador não é zero e, no caso especial em que o denominador se anula (isto é, quando a=0), faremos uma análise por trajetórias.
Passo 2
Suponha primeiro que a\neq 0. Nesse caso o ponto (a,a) satisfaz
x^{4}+y^{4}\Big|_{(x,y)=(a,a)} = 2\,a^{4}\neq 0,
logo o quociente
f(x,y)=\frac{x\,y^{4}}{x^{4}+y^{4}}
é contínuo em (a,a). Pela continuidade, o limite é dado pela substituição direta: