Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, a)} \frac{x y^{4}}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(a,a)} \frac{x\,y^{4}}{x^{4}+y^{4}}
Isso é um problema de limites de funções de duas variáveis. Vamos usar continuidade de quocientes de polinômios quando o denominador não é zero e, no caso especial em que o denominador se anula (isto é, quando a=0), faremos uma análise por trajetórias.

Passo 2

Suponha primeiro que a\neq 0. Nesse caso o ponto (a,a) satisfaz
x^{4}+y^{4}\Big|_{(x,y)=(a,a)} = 2\,a^{4}\neq 0,
logo o quociente
f(x,y)=\frac{x\,y^{4}}{x^{4}+y^{4}}
é contínuo em (a,a). Pela continuidade, o limite é dado pela substituição direta:

Passo 3

Substituindo (x,y)=(a,a) em f, obtemos
f(a,a)=\frac{a\cdot a^{4}}{a^{4}+a^{4}} =\frac{a^{5}}{2\,a^{4}} =\frac{a}{2}.

Passo 4

Agora trate o caso a=0. Queremos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{4}}{x^{4}+y^{4}}.
Use uma trajetória genérica y=m\,x. Então
\frac{x\,(m\,x)^{4}}{x^{4}+(m\,x)^{4}} =\frac{m^{4}\,x^{5}}{x^{4}\,(1+m^{4})} =\frac{m^{4}}{1+m^{4}}\;x \longrightarrow 0 \quad\text{quando }x\to 0.
Trajetórias especiais como y=0 ou x=0 também dão valor zero. Logo o limite existe e vale 0.

Passo 5

Em ambos os casos temos
\lim_{(x,y)\to(a,a)} \frac{x\,y^{4}}{x^{4}+y^{4}} =\frac{a}{2},
pois para a=0 isso dá \tfrac{0}{2}=0.

Resposta

\boxed{\frac{a}{2}}

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