Utilize coordenadas polares para determinar o limite, I_{\mathrm{e}} ( r, \theta ) são as coordenadas polares do ponto (x, y) \operatorname{com} r \geqslant 0, observe que r \longrightarrow 0^{+}quando (x, y) \rightarrow(\mathbf{0}, \mathbf{0}).]
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{-x^{2}-y^{3}}-1}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{-x^{2}-y^{3}}-1}{x^{2}+y^{2}}
usando coordenadas polares, onde x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e r\to 0^+.

Passo 2

Em coordenadas polares substituímos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
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x^{2}+y^{2} = r^{2}, \qquad -x^{2}-y^{3} = -\bigl(r^{2}\cos^{2}\theta + r^{3}\sin^{3}\theta\bigr).
Assim a expressão vira
\frac{e^{-r^{2}\cos^{2}\theta - r^{3}\sin^{3}\theta}-1}{r^{2}}.

Passo 3

Defina
A = r^{2}\cos^{2}\theta + r^{3}\sin^{3}\theta.
Usamos a expansão de série de e^{-A} em torno de A=0:
e^{-A}-1 = -A + \frac{A^{2}}{2} + O(A^{3}).
Portanto o numerador vale
e^{-A}-1 = -\bigl(r^{2}\cos^{2}\theta + r^{3}\sin^{3}\theta\bigr) + O(r^{4}).
Dividindo por r^{2} obtém-se
\frac{e^{-A}-1}{r^{2}} = -\cos^{2}\theta - r\,\sin^{3}\theta + O(r^{2}).

Passo 4

Quando r\to 0, o termo -r\,\sin^{3}\theta + O(r^{2}) some, ficando
\lim_{r\to0}\frac{e^{-r^{2}\cos^{2}\theta - r^{3}\sin^{3}\theta}-1}{r^{2}} = -\cos^{2}\theta.
Isso mostra que o valor limite depende de \theta, ou seja, da direção de aproximação.

Passo 5

Escolhendo duas direções:
  • Para \theta=0: -\cos^{2}0 = -1.
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: -\cos^{2}\tfrac{\pi}{2} = 0.
Como surgem valores diferentes, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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