Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, 0,1 / 3) e^y^z tg(x z)

Passo 1

Temos o limite lim(x,y,z)to(pi,0,1/3) e^y^ztan(xz). O conteúdo envolvido é limite de função de várias variáveis e vamos usar a propriedade de continuidade e composição de funções elementares (potência, exponencial e tangente).

Passo 2

Primeiro analisamos e^y^z. Note que, para y>0, podemos escrever
y^z = e^zln y
Quando (y,z)to(0,1/3), temos ln y to -infty e zto1/3>0, logo zln yto -infty, ou seja y^zto0. Pela continuidade da exponencial, concluímos
lim(y,z)to(0,1/3) e^y^z = e^0 = 1

Passo 3

Agora analisamos tan(xz). Como (x,z)to(pi,1/3) implica xztopi/3 e cos(pi/3)=1/2neq0, a função tangente é contínua nesse ponto. Logo,
lim(x,z)to(pi,1/3) tan(xz) = tanl(pi/3r) = raiz3

Passo 4

Por fim, como o produto de limites existe e vale a multiplicação dos resultados, temos
lim(x,y,z)to(pi,0,1/3) e^y^ztan(xz) = 1 cdot raiz3 = raiz3

Resposta

raiz3

Exercícios relacionados