Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

O enunciado pede para determinar
lim(x,y)to(0,0) x^3x^3+y^2.
Esse é um limite de função de duas variáveis e precisamos verificar se o valor da expressão ao nos aproximarmos de (0,0) é único, testando diferentes trajetórias.

Passo 2

Considere a trajetória y=0. Substituindo em
x^3x^3+y^2 temos
x^3x^3+0^2 =x^3x^3 =1 (para xneq0)
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lim(x,0)to(0,0) x^3x^3+y^2 = 1

Passo 3

Agora considere a trajetória x=0. Substituindo em
x^3x^3+y^2 obtemos
0^30^3+y^2 =0
Portanto
lim(0,y)to(0,0) x^3x^3+y^2 = 0

Passo 4

Vimos que ao longo de y=0 o limite é 1 e ao longo de x=0 é 0. Como os valores são diferentes, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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