S-4.3 Sabendo que 7^4=2401, ache os últimos dois dígitos de 7^99999.

Passo 1

O enunciado pede os últimos dois dígitos de 7^99999. Isso equivale a calcular
7^99999bmod 100
Para isso usamos aritmética modular e o conceito de ordem de um elemento em Z100. Como nos deram
7^4 = 2401,
seguido de
2401 equiv 1 pmod100,
isso mostra que as potências de 7 módulo 100 se repetem com período 4.

Passo 2

Para aproveitar esse período, reduzimos o expoente 99999 módulo 4. Calculamos
99999 div 4 = 24999 com resto 3,
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99999 equiv 3 pmod4

Passo 3

Como 7^4 equiv 1pmod100, vale para todo inteiro k:
7^4k+requiv 7^rpmod100
Aqui 99999 = 4cdot 24999 + 3, então
7^99999equiv 7^3pmod100
E
7^3 = 343 equiv 43 pmod100

Resposta

43

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