Problema 4.9. Determine os restos da divisão por 4, 8, 25 e 125 dos números: 3 254,
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, para cada um dos números
os restos da divisão por
, por
, por
e por
.
O que vamos usar:
– Para , teorema de Euler/Carmichael para reduzir expoente em módulos
e
, e substituições simples em módulos
e
.
– Para os inteiros, basta usar propriedades de divisibilidade em base decimal (últimos dígitos) para obter restos em .
O que vamos usar:
– Para
– Para os inteiros, basta usar propriedades de divisibilidade em base decimal (últimos dígitos) para obter restos em
Passo 2
Cálculo de
e
.
Em módulo temos
, então
Em módulo
Em módulo
, como
e
,
Passo 3
Cálculo de
e
.
Usamos e
.
Para :
, então
Usamos
Para
Como
segue
Para
:
, então
Calculamos
e assim
Passo 4
Cálculo dos restos
e
para os inteiros.
Basta olhar os últimos dois dígitos para módulo e os últimos três para
:
– termina em
, logo
– termina em
, logo
– termina em
, logo
– termina em
, logo
Basta olhar os últimos dois dígitos para módulo
–
–
–
–
Passo 5
Cálculo dos restos
e
para os mesmos inteiros.
Em base decimal basta olhar os últimos dois dígitos para e três para
:
– : últimos dois dígitos
, então
últimos três , então
– : últimos dois
dão
últimos três dão
– : últimos dois
dão
últimos três dão
– : últimos dois
dão
últimos três dão
Em base decimal basta olhar os últimos dois dígitos para
–
últimos três
–
últimos três
–
últimos três
–
últimos três