S-4.6 Mostre que 2222^5555+5555^2222 é múltiplo de 7 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 2222^5555+5555^2222 é múltiplo de 7. Vamos usar aritmética modular e o pequeno teorema de Fermat, que diz que se p é primo e pnmid a então
a^p-1equiv1pmod p
No nosso caso, p=7, logo podemos reduzir expoentes módulo 6.

Passo 2

Calcular as classes de 2222 e 5555 módulo 7:
2222 = 7cdot317 + 3
Rightarrow 2222 equiv 3 pmod7
5555 = 7cdot793 + 4
Rightarrow 5555 equiv 4 pmod7

Passo 3

Pelo pequeno teorema de Fermat, para todo a com 7nmid a vale
a^6equiv1pmod7
Portanto, basta reduzir os expoentes módulo 6:
5555 equiv 5 pmod6, 2222 equiv 2 pmod6

Passo 4

Calcular 2222^5555bmod7 usando as reduções:
2222^5555equiv 3^5555equiv 3^5pmod7
Como 3^2=9equiv2, temos 3^4equiv2^2=4 e
3^5=3^4cdot3equiv4cdot3=12equiv5pmod7

Passo 5

Calcular 5555^2222bmod7 de modo análogo:
5555^2222equiv 4^2222equiv 4^2pmod7
E 4^2=16equiv2pmod7.

Passo 6

Somando os restos:
2222^5555+5555^2222equiv 5 + 2 = 7 equiv 0pmod7
Logo a soma é múltiplo de 7.

Resposta

2222^5555+5555^2222 é múltiplo de 7.

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