Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
4)
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Passo 1
No enunciado, queremos calcular o limite em duas variáveis
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos precisar testar se o valor é independente do caminho de aproximação.
Passo 2
Vamos aproximar por uma reta genérica e depois por trajetórias específicas. Primeiro, considere a trajetória y = x. Substituindo em
temos y=x, logo x+y = 2x e x2+y2 = 2x^2. Assim
Passo 3
Portanto, ao seguir y=x, a expressão tende a 2 quando (x,y)→(0,0).
Passo 4
Agora considere a trajetória y = -x. Nesse caso x+y = x-x = 0 e x2+y2 = 2x^2. Logo
Passo 5
Isso mostra que, seguindo y=-x, o limite é 0.
Passo 6
Como obtemos valores diferentes (2 e 0) ao aproximar por duas linhas distintas, o limite depende do caminho. Logo não existe um único valor para o limite.
Resposta
O limite não existe, pois caminhos diferentes dão resultados diferentes.