Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
4)

Passo 1

No enunciado, queremos calcular o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) (x+y)^2x^2+y^2
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos precisar testar se o valor é independente do caminho de aproximação.

Passo 2

Vamos aproximar por uma reta genérica e depois por trajetórias específicas. Primeiro, considere a trajetória y = x. Substituindo em
(x+y)^2x^2+y^2
temos y=x, logo x+y = 2x e x2+y2 = 2x^2. Assim

Passo 3

(x+x)^2x^2+x^2 = 4x^22x^2 = 2
Portanto, ao seguir y=x, a expressão tende a 2 quando (x,y)→(0,0).

Passo 4

Agora considere a trajetória y = -x. Nesse caso x+y = x-x = 0 e x2+y2 = 2x^2. Logo

Passo 5

(x-x)^2x^2+(-x)^2 = 02x^2 = 0
Isso mostra que, seguindo y=-x, o limite é 0.

Passo 6

Como obtemos valores diferentes (2 e 0) ao aproximar por duas linhas distintas, o limite depende do caminho. Logo não existe um único valor para o limite.

Resposta

O limite não existe, pois caminhos diferentes dão resultados diferentes.

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