Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
5)

Passo 1

Nesse exercício vamos determinar o valor do limite duplo lim(x,y)to(0,0) x^2y^2x^4+y^4. Esse conteúdo é de limites de funções de duas variáveis e para existir o limite é preciso que o valor se mantenha o mesmo ao longo de toda trajetória de aproximação a (0,0).

Passo 2

Para testar diferentes trajetórias, consideramos a reta y = m x (com m constante) e substituímos na expressão:

Passo 3

x^2y^2x^4+y^4 = x^2 (m x)^2x^4+(m x)^4 = m^2 x^4x^4(1+m^4) = m^21+m^4

Passo 4

Observamos que o valor da expressão ao longo de y = m x é tfracm^21+m^4, que depende de m. Por exemplo, para m=0 (reta y=0) o limite vale 0 e para m=1 (reta y=x) o limite vale tfrac12. Como não há um valor único para todas as trajetórias, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois assume valores diferentes conforme a trajetória de aproximação a (0,0).

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