Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. O que precisamos aqui envolve entender como resolver desigualdades com frações e variáveis. Vamos precisar usar conceitos de álgebra, como encontrar o domínio da expressão, manipular frações e analisar os sinais das expressões para determinar onde a desigualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. Na expressão
, o denominador
não pode ser zero porque divisão por zero é indefinida. Então,
implica que
. Portanto, nosso domínio é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a desigualdade para facilitar a resolução. Temos:
Vamos trazer todos os termos para o mesmo lado da desigualdade:
Passo 4
Para combinar os termos, precisamos ter um denominador comum. O denominador comum será
. Então, reescrevemos
como
:
Simplificando o numerador:
Então, a desigualdade fica:
Passo 5
Agora, para resolver essa desigualdade, precisamos encontrar onde a fração é negativa. Isso acontece quando o numerador e o denominador têm sinais opostos. Primeiro, vamos encontrar as raízes do numerador e do denominador.
Para o denominador
, já sabemos que
.
Para o numerador
, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 6
Agora, vamos identificar os intervalos definidos pelas raízes encontradas e pelo ponto onde a função não está definida (
):
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo para determinar o sinal da fração.
Passo 7
Vamos analisar cada intervalo:
-
Para
: - Numerador: Negativo
- Denominador: Negativo
- Fração: Positiva
-
Para
: - Numerador: Positivo
- Denominador: Negativo
- Fração: Negativa
-
Para
: - Numerador: Negativo
- Denominador: Positivo
- Fração: Negativa
-
Para
: - Numerador: Negativo
- Denominador: Positivo
- Fração: Negativa
Passo 8
Estamos procurando onde a fração é menor que zero, ou seja, onde é negativa. Observamos que isso ocorre nos intervalos:
Passo 9
Portanto, a solução da desigualdade
é:
Resposta
A solução da desigualdade é: