Resolva:
1x+1<2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade 1x+1 < 2x. O que precisamos aqui envolve entender como resolver desigualdades com frações e variáveis. Vamos precisar usar conceitos de álgebra, como encontrar o domínio da expressão, manipular frações e analisar os sinais das expressões para determinar onde a desigualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. Na expressão 1x+1, o denominador x+1 não pode ser zero porque divisão por zero é indefinida. Então, x + 1 neq 0 implica que x neq -1. Portanto, nosso domínio é todos os números reais exceto x = -1.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a desigualdade para facilitar a resolução. Temos:
1x+1 < 2x
Vamos trazer todos os termos para o mesmo lado da desigualdade:
1x+1 - 2x < 0

Passo 4

Para combinar os termos, precisamos ter um denominador comum. O denominador comum será x+1. Então, reescrevemos 2x como 2x(x+1)x+1:
1 - 2x(x+1)x+1 < 0
Simplificando o numerador:
1 - 2x(x+1) = 1 - 2x^2 - 2x
Então, a desigualdade fica:
-2x^2 - 2x + 1 x+1 < 0

Passo 5

Agora, para resolver essa desigualdade, precisamos encontrar onde a fração é negativa. Isso acontece quando o numerador e o denominador têm sinais opostos. Primeiro, vamos encontrar as raízes do numerador e do denominador.
Para o denominador x + 1 = 0, já sabemos que x = -1.
Para o numerador -2x^2 - 2x + 1 = 0, vamos resolver a equação quadrática:
-2x^2 - 2x + 1 = 0 2x^2 + 2x - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a x = -2 pm raiz(2)^2 - 4(2)(-1)2(2) x = -2 pm raiz4 + 84 x = -2 pm raiz124 x = -2 pm 2raiz34 x = -1 pm raiz32
Então, as raízes são x = -1 + raiz32 e x = -1 - raiz32.

Passo 6

Agora, vamos identificar os intervalos definidos pelas raízes encontradas e pelo ponto onde a função não está definida ( x = -1):
  1. x < -1 - raiz32
  2. -1 - raiz32 < x < -1
  3. -1 < x < -1 + raiz32
  4. x > -1 + raiz32
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo para determinar o sinal da fração.

Passo 7

Vamos analisar cada intervalo:
  1. Para x < -1 - raiz32:
    • Numerador: Negativo
    • Denominador: Negativo
    • Fração: Positiva
  2. Para -1 - raiz32 < x < -1:
    • Numerador: Positivo
    • Denominador: Negativo
    • Fração: Negativa
  3. Para -1 < x < -1 + raiz32:
    • Numerador: Negativo
    • Denominador: Positivo
    • Fração: Negativa
  4. Para x > -1 + raiz32:
    • Numerador: Negativo
    • Denominador: Positivo
    • Fração: Negativa

Passo 8

Estamos procurando onde a fração é menor que zero, ou seja, onde é negativa. Observamos que isso ocorre nos intervalos:
  • -1 - raiz32 < x < -1
  • -1 < x < -1 + raiz32

Passo 9

Portanto, a solução da desigualdade 1x+1 < 2x é:
-1 - raiz32 < x < -1 ou -1 < x < -1 + raiz32

Resposta

A solução da desigualdade é:
-1 - raiz32 < x < -1 ou -1 < x < -1 + raiz32

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