Use diferenciação implicita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y.
2) x^2+y^2-z^2=2 x(y+z)

Passo 1

O enunciado pede para usar diferenciação implícita a fim de encontrar partial zpartial x e partial zpartial y a partir da relação
x^2+y^2-z^2=2x(y+z)
O conteúdo aqui é diferenciação implícita em funções de duas variáveis.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-2x(y+z),
de modo que a condição dada equivale a
F(x,y,z)=0

Passo 3

Para partial zpartial x mantemos y constante e aplicamos a regra da cadeia:
ddxFl(x,y,z(x,y)r) =Fx+Fz,partial zpartial x=0
Calculamos primeiro as parciais (tratando z como independente):
Fx=partialpartial xl(x^2+y^2-z^2-2x(y+z)r) =2x-2(y+z),
Fz=partialpartial zl(x^2+y^2-z^2-2x(y+z)r) =-2z-2x

Passo 4

Substituindo em Fx+Fz,zx=0 temos
2x-2(y+z)+(-2z-2x),partial zpartial x=0
e, isolando partial z/partial x,
partial zpartial x =-2x-2(y+z)-2z-2x =2(x-y-z)2(x+z) =x-y-zx+z

Passo 5

Para partial zpartial y mantemos x constante e usamos
ddyFl(x,y,z(x,y)r) =Fy+Fz,partial zpartial y=0
Já que
Fy=partialpartial yl(x^2+y^2-z^2-2x(y+z)r) =2y-2x
e Fz=-2z-2x, segue
2y-2x+(-2z-2x),partial zpartial y=0
e
partial zpartial y =-2y-2x-2z-2x =2(y-x)2(x+z) =y-xx+z

Resposta

partial zpartial x=x-y-zx+z,
partial zpartial y=y-xx+z

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