Use coordenadas esféricas.
Calcule integral triplaE x^2 dV, onde E está entre as esferas rho=1 e rho=3 e acima do cone phi-pi / 4.

Passo 1

Estamos querendo calcular
integral triplaE x^2,dV
onde E é o conjunto de pontos em coordenadas esféricas com
1<= rho<= 3, 0<= theta<= 2pi, 0<= phi<= pi4
(“acima” do cone phi=pi/4 significa phi menor ou igual a pi/4).
O que precisamos: a expressão de x e de dV em esféricas e escolher os limites adequados.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = rhosinphicostheta, dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
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x^2,dV = (rhosinphicostheta)^2cdot(rho^2sinphi),drho,dphi,dtheta = rho^4,sin^3phi,cos^2theta,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Podemos então escrever a integral como produto de três integrais separáveis:
integral triplaEx^2,dV = integral0^2pi!!integral0^pi/4!!integral1^3 rho^4,sin^3phi,cos^2theta ,drho,dphi,dtheta =l(integral1^3rho^4drhor) l(integral0^2picos^2theta,dthetar) l(integral0^pi/4sin^3phi,dphir)

Passo 4

Calculemos a parte em rho:
integral1^3rho^4drho =rho^55|1^3 =3^5-15 =243-15 =2425

Passo 5

Agora a parte em theta:
integral0^2picos^2theta,dtheta =pi,
pois a média de cos^2theta num período 2pi é 1/2.

Passo 6

E a parte em phi, usando u=cosphi, du=-sinphi,dphi:
integral0^pi/4sin^3phi,dphi =integral0^pi/4(1-cos^2phi)sinphi,dphi =l[tfraccos^3phi3-cosphir]0^pi/4 =8-5raiz212

Passo 7

Multiplicando tudo:
integral triplaEx^2,dV =2425timespitimes8-5raiz212 =121pi30l(8-5raiz2r)

Resposta

121pi30l(8-5raiz2r)

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