Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
6)

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de função multivariável e vamos usar desigualdades e o teorema do confronto para provar que o limite existe e é zero.

Passo 2

Primeiro, separe o numerador e use desigualdade triangular para estimar em módulo: observe que

Passo 3

|x^3 + x y^2| <= |x^3| + |x y^2|,

Passo 4

e note que

Passo 5

|x^3| = |x|,x^2 <= |x|,(x^2+y^2),

Passo 6

|x y^2| = |x|,y^2 <= |x|,(x^2+y^2)

Passo 7

Somando as duas estimativas obtemos

Passo 8

|x^3 + x y^2| <= 2,|x|,(x^2+y^2)

Passo 9

Divida agora pelo denominador (x^2+y^2)>0 para (x,y)neq(0,0) e veja:

Passo 10

|x^3 + x y^2x^2+y^2| <= 2,|x|,(x^2+y^2)x^2+y^2 = 2,|x|

Passo 11

Como (x,y)to(0,0), temos |x|to0 e, pelo teorema do confronto, o limite da função original também vai para zero.

Resposta

0

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