1^ a Questão (2 pontos): Para a função f(x)=x^2-4x^2+2 x-3, determine o seu domínio, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, determine os pontos de interseção com os eixos coordenados e faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=x^2-4x^2+2x-3
e pede: domínio, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com eixos e esboço do gráfico. Para resolver vamos usar fatoração de polinômios, limites laterais para assíntotas verticais, comportamento em xtopminfty para assíntota horizontal e cálculo de zeros e valor em x=0.

Passo 2

Encontrar o domínio exige excluir x tais que o denominador se anule.
Fatorando
x^2+2x-3=(x+3)(x-1),
vemos que o denominador é zero em x=-3 e x=1. Logo,
Domínio=Rsetminus-3,,1 í

Passo 3

Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador se anula sem cancelamento com o numerador. Como
x^2-4=(x-2)(x+2)
não compartilha raízes com (x+3)(x-1), há assíntotas verticais em
x=-3 e x=1
Para xtopminfty, os graus do numerador e do denominador são iguais (2), então a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes líderes:
y=1

Passo 4

Interseções com os eixos:
– Eixo x ( y=0): resolver
x^2-4x^2+2x-3=0 Longrightarrow x^2-4=0
x=pm2,
dando pontos (2,0) e (-2,0).
– Eixo y ( x=0):
f(0)=0^2-40^2+2cdot0-3=-4-3=43,
ponto l(0,tfrac43r).

Passo 5

Para esboçar além dos interceptos e assíntotas, analisamos o sinal de f(x) e os limites laterais:
  1. Limites nas assíntotas: limxto-3^-f(x)=+infty, limxto-3^+f(x)=-infty,
limxto1^-f(x)=+infty, limxto1^+f(x)=-infty
  1. Comportamento para xtopminfty: limxtopminftyf(x)=1, aproximando-se de y=1.
  2. Sinal em intervalos:
    x<-3: f(x)>0.
    -3<x<-2: f(x)<0.
    -2<x<1: f(x)>0.
    1<x<2: f(x)<0.
    x>2: f(x)>0.

Passo 6

Em alguns gráficos vale marcar o ponto em que a curva cruza a assíntota horizontal. Resolver
x^2-4x^2+2x-3=1 Longrightarrow x=-tfrac12,
dá o ponto l(-tfrac12,1r).

Passo 7

Esboço do gráfico:
– Desenhar as retas verticais x=-3 e x=1 e a reta horizontal y=1.
– Plotar os pontos (-2,0), (2,0), l(0,tfrac43r) e l(-tfrac12,1r).
– Em cada região (determinado o sinal e os limites) desenhar a curva tendendo às assíntotas e passando pelos interceptos.

Resposta

Domínio: Rsetminus-3,1
Assíntotas verticais: x=-3 e x=1
Assíntota horizontal: y=1
Interceptos: (2,0), (-2,0) e l(0,tfrac43r)
Esboço: ramo positivo em x<-3, ramo negativo em -3<x<-2, positivo em -2<x<1, negativo em 1<x<2 e positivo em x>2, todos aproximando-se de y=1 quando lvert xrverttoinfty.

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