Questão (2 pontos): Para a função
, determine o seu domínio, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, determine os pontos de interseção com os eixos coordenados e faça um esboço do seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede: domínio, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com eixos e esboço do gráfico. Para resolver vamos usar fatoração de polinômios, limites laterais para assíntotas verticais, comportamento em
para assíntota horizontal e cálculo de zeros e valor em
.
Passo 2
Encontrar o domínio exige excluir
tais que o denominador se anule.
Fatorando
Fatorando
vemos que o denominador é zero em
e
. Logo,
Passo 3
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador se anula sem cancelamento com o numerador. Como
não compartilha raízes com
, há assíntotas verticais em
Para
, os graus do numerador e do denominador são iguais (2), então a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes líderes:
Passo 4
Interseções com os eixos:
– Eixo (
): resolver
– Eixo
dando pontos
e
.
– Eixo (
):
– Eixo
ponto
.
Passo 5
Para esboçar além dos interceptos e assíntotas, analisamos o sinal de
e os limites laterais:
- Limites nas assíntotas:
- Comportamento para
: aproximando-se de . - Sinal em intervalos:
–: .
–: .
–: .
–: .
–: .
Passo 6
Em alguns gráficos vale marcar o ponto em que a curva cruza a assíntota horizontal. Resolver
dá o ponto
.
Passo 7
Esboço do gráfico:
– Desenhar as retas verticais e
e a reta horizontal
.
– Plotar os pontos ,
,
e
.
– Em cada região (determinado o sinal e os limites) desenhar a curva tendendo às assíntotas e passando pelos interceptos.
– Desenhar as retas verticais
– Plotar os pontos
– Em cada região (determinado o sinal e os limites) desenhar a curva tendendo às assíntotas e passando pelos interceptos.
Resposta
Domínio:
Assíntotas verticais: e
Assíntota horizontal:
Interceptos: ,
e
Esboço: ramo positivo em , ramo negativo em
, positivo em
, negativo em
e positivo em
, todos aproximando-se de
quando
.
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Interceptos:
Esboço: ramo positivo em