Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y) = (x-2),y^2(x-2)^2+y^2
quando (x,y)to(2,0). Aqui vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem), mostrando que lvert f(x,y)rvert fica presa entre 0 e uma quantidade que vai a zero.

Passo 2

Primeiro observamos que
y^2(x-2)^2+y^2<= 1
porque (x-2)^2+y^2>= y^2. Logo
|f(x,y)| = |x-2|,y^2(x-2)^2+y^2 <= |x-2|
Além disso, pela definição de norma,
|x-2| <= raiz(x-2)^2+y^2

Passo 3

Combinando as desigualdades anteriores obtemos
|f(x,y)| <= raiz(x-2)^2+y^2
Como raiz(x-2)^2+y^2to 0 quando (x,y)to(2,0), pelo Teorema do Confronto segue que f(x,y)to 0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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