Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0) x^3y^3x^4+y^4!,
que é um limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar estimativas no módulo da função e aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Observe que a diferença de quadrados satisfaz
(x^2 - y^2)^2 >= 0 ;Longrightarrow; x^4 + y^4 >= 2x^2y^2
Como x^2y^2>=0, segue também
x^4 + y^4 >= 2|x^2y^2|

Passo 3

Agora estimamos o valor absoluto da função:
|x^3y^3x^4+y^4| = |x^3y^3|x^4+y^4 = |x y|;cdot|x^2y^2|x^4+y^4 <= |x y|;l((x^4+y^4)/2r)x^4+y^4 = tfrac12,|x y|

Passo 4

Quando (x,y)to(0,0), temos |x y|to0. Da estimativa
|x^3y^3x^4+y^4|<= tfrac12,|x y|to0,
pelo Teorema do Confronto concluímos que
lim(x,y)to(0,0) x^3y^3x^4+y^4 = 0

Resposta

0

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