Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
y^prime prime-y^prime=e^3 t, y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y''-y'=e^3t, y(0)=1, y'(0)=2
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem não-homogênea com condições iniciais, e usaremos as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
e
Le^3t=1/(s-3).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo de y''-y'=e^3t e substituindo y(0)=1 e y'(0)=2, temos
l(s^2Y(s)-scdot1-2r);-;l(sY(s)-1r);=;1s-3
Isto é
s^2Y(s)-s-2 - sY(s)+1 = 1s-3 Longrightarrow (s^2 - s),Y(s) - (s+1) = 1s-3

Passo 3

Isolando Y(s) obtemos
Y(s) = 1s(s-1);1s-3 ;+;s+1s(s-1)

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada fração:
s+1s(s-1) = -1s + 2s-1,
1(s-3),s,(s-1) = 1/3s - 1/2s-1 + 1/6s-3
Somando,
Y(s) = l(-1s+2s-1r) + l(1/3s-1/2s-1+1/6s-3r) = -23,1s + 32,1s-1 + 16,1s-3

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
y(t) = -23 + 32,e^t + 16,e^3t

Resposta

y(t) = -23 + 32,e^t + 16,e^3t

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