Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
Este é um EDO linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
Resolvendo-a, teremos os expoentes da solução geral.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para obter as raízes
:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
Passo 4
Agora impondo as condições iniciais. De
vem
Derivando
e avaliando em
para usar
,
Passo 5
Resolvendo o sistema
obtemos
Logo, a solução particular é
Passo 6
Para esboçar o gráfico:
- Em
, . - A derivada inicial é negativa (
), então desce a partir de . - Para
, o termo domina, e como o coeficiente é negativo, a solução diverge para exponencialmente rápido.
O gráfico começa em
, decresce, pode passar por zero num movimento relativamente rápido e, para grandes
, cai exponencialmente para
.
Resposta
Para
,
exponencialmente.