Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.
y^prime prime-12 y^prime+4 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' - 12y' + 4y = 0, y(0)=2, y'(0)=-1
Este é um EDO linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 -12r +4 = 0
Resolvendo-a, teremos os expoentes da solução geral.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para obter as raízes r:
r = 12 pm raiz12^2 -4cdot1cdot42 = 12 pm raiz144 -162 = 12 pm raiz1282 = 6 pm 4raiz2
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^(6+4raiz2)t + C2 e^(6-4raiz2)t

Passo 4

Agora impondo as condições iniciais. De y(0)=2 vem
C1 + C2 = 2
Derivando y(t) e avaliando em t=0 para usar y'(0)=-1,
y'(t) = C1(6+4raiz2)e^(6+4raiz2)t + C2(6-4raiz2)e^(6-4raiz2)t,
y'(0) = C1(6+4raiz2) + C2(6-4raiz2) = -1

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2, C1(6+4raiz2) + C2(6-4raiz2) = -1,
obtemos
C1 = 1 - 13raiz216, C2 = 1 + 13raiz216
Logo, a solução particular é
y(t) = l(1 - tfrac13raiz216r)e^(6+4raiz2)t + l(1 + tfrac13raiz216r)e^(6-4raiz2)t

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
  • Em t=0, y(0)=2.
  • A derivada inicial é negativa ( y'(0)=-1), então y desce a partir de 2.
  • Para ttoinfty, o termo e^(6+4raiz2)t domina, e como o coeficiente C1=1-tfrac13raiz216approx -0,15 é negativo, a solução diverge para -infty exponencialmente rápido.
O gráfico começa em 2, decresce, pode passar por zero num movimento relativamente rápido e, para grandes t, cai exponencialmente para -infty.

Resposta

y(t) = l(1 - tfrac13raiz216r)e^(6+4raiz2)t + l(1 + tfrac13raiz216r)e^(6-4raiz2)t
Para ttoinfty, y(t)to -infty exponencialmente.

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