QuestIo. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite năo existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, a)} \frac{x^{2} y e^{y}}{x^{4}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}y\,e^{y}}{x^{4}+4y^{2}}
quando (x,y)\to(a,a). O conteúdo é limite em várias variáveis, e vamos precisar usar continuidade quando o denominador não anula em (a,a) e teste por caminhos diferentes quando anula.

Passo 2

Avaliamo o denominador em (x,y)=(a,a):
a^{4}+4a^{2}=a^{2}(a^{2}+4).
Se a\neq0, então a^{2}(a^{2}+4)\neq0 e a função é contínua no ponto. Se a=0, o denominador vale zero e precisamos investigar caminhos.

Passo 3

Caso a\neq0: por continuidade,
\lim_{(x,y)\to(a,a)}\frac{x^{2}y\,e^{y}}{x^{4}+4y^{2}} =\frac{a^{2}\cdot a\,e^{a}}{a^{4}+4a^{2}} =\frac{a^{3}e^{a}}{a^{2}(a^{2}+4)} =\frac{a\,e^{a}}{a^{2}+4}.

Passo 4

Caso a=0: analisamos o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y\,e^{y}}{x^{4}+4y^{2}}.
Tomemos o caminho y=kx^{2} com k\in\mathbb{R}. Então
\text{num} = x^{2}\,(k x^{2})\,e^{k x^{2}} = k x^{4}\,e^{k x^{2}}, \qquad \text{den} = x^{4}+4(kx^{2})^{2} = x^{4}(1+4k^{2}).

Passo 5

Para x\to0 obtemos
\frac{k x^{4}e^{k x^{2}}}{x^{4}(1+4k^{2})} =\frac{k\,e^{k x^{2}}}{1+4k^{2}} \longrightarrow\frac{k}{1+4k^{2}},
que depende de k. Como varia com o caminho, o limite em (0,0) não existe.

Resposta

Se a\neq0,
\lim_{(x,y)\to(a,a)}\frac{x^{2}y\,e^{y}}{x^{4}+4y^{2}} =\frac{a\,e^{a}}{a^{2}+4}.
Se a=0, o limite não existe.

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