Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,2)}\left(x^{2} y^{3}-4 y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(2,2)}\bigl(x^{2}y^{3}-4y^{2}\bigr).
O conteúdo da matéria é limite de função de duas variáveis e a propriedade de continuidade de polinômios.

Passo 2

Como a função
f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y^{2}
é um polinômio em (x,y), ela é contínua em todo \mathbb{R}^{2}. Portanto, podemos usar as regras de limite para produtos, potências e somas e simplesmente substituir (x,y)=(2,2).

Passo 3

Aplicando as propriedades de limite, temos
\lim_{(x,y)\to(2,2)}x^{2}y^{3} =\Bigl(\lim_{(x,y)\to(2,2)}x^{2}\Bigr)\Bigl(\lim_{(x,y)\to(2,2)}y^{3}\Bigr) =2^{2}\cdot2^{3}=4\cdot8=32,
e
\lim_{(x,y)\to(2,2)}4y^{2} =4\cdot\lim_{(x,y)\to(2,2)}y^{2} =4\cdot2^{2}=4\cdot4=16.
Logo,
\lim_{(x,y)\to(2,2)}\bigl(x^{2}y^{3}-4y^{2}\bigr) =32-16=16.

Resposta

16

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