Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y \operatorname{sen} y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2xy\operatorname{sen} y}{x^2+y^2},
que é um limite de função de duas variáveis. Para analisar se existe e qual é o valor, podemos usar coordenadas polares ou desigualdades que façam um “squeeze” (teorema do confronto).

Passo 2

Em coordenadas polares, ponha
x = r\cos\theta,\quad y = r\operatorname{sen}\theta,
de modo que x^2+y^2=r^2. O numerador fica
2xy\operatorname{sen} y = 2\bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(r\operatorname{sen}\theta\bigr)\operatorname{sen}\bigl(r\operatorname{sen}\theta\bigr) =2r^2\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta\;\operatorname{sen}\bigl(r\operatorname{sen}\theta\bigr).
Portanto a função vira
\frac{2xy\operatorname{sen} y}{x^2+y^2} =2\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta\;\operatorname{sen}\bigl(r\operatorname{sen}\theta\bigr).

Passo 3

Para r\to0, temos \operatorname{sen}(r\operatorname{sen}\theta)\to0 para todo \theta. Logo
2\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta\;\operatorname{sen}\bigl(r\operatorname{sen}\theta\bigr)\;\longrightarrow\;2\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta\;\cdot0 = 0.
Isto mostra que, em cada direção \theta, o valor tende a zero.

Passo 4

Para rigor, note que \lvert\operatorname{sen}(r\operatorname{sen}\theta)\rvert\le\lvert r\operatorname{sen}\theta\rvert. Assim
\biggl|\frac{2xy\operatorname{sen} y}{x^2+y^2}\biggr| =|2\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta|\;\bigl|\operatorname{sen}(r\operatorname{sen}\theta)\bigr| \le2|\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta|\;|r\operatorname{sen}\theta| \le r\cdot 2\bigl|\cos\theta\,\operatorname{sen}^2\theta\bigr| \le r.
Como r=\sqrt{x^2+y^2}\to0, pelo teorema do confronto a expressão tende a zero independentemente de \theta.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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