Verifique se a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é contínua no ponto P indicado.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 x^{3} y}{x^{6}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}, P=(0,0)\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2x^3y}{x^6+y^2},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 1,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em P=(0,0). Para isso vamos usar o critério de continuidade: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=1.

Passo 2

Para estudar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) usamos aproximações ao longo de retas ou curvas. Uma escolha conveniente é tomar
y = k\,x^3,
com k\in\mathbb{R} constante, de modo que (x,y)\to(0,0) quando x\to0.

Passo 3

Substituindo y=kx^3 em f(x,y) temos, para x\neq0,
f\bigl(x,kx^3\bigr) =\frac{2x^3\,(kx^3)}{x^6+(kx^3)^2} =\frac{2k\,x^6}{x^6+k^2x^6} =\frac{2k}{1+k^2}.
Logo
\lim_{x\to0}f\bigl(x,kx^3\bigr) =\frac{2k}{1+k^2},
que depende de k.

Passo 4

Como o valor \tfrac{2k}{1+k^2} varia com k, por exemplo \displaystyle k=0\implies\lim=0 e \displaystyle k=1\implies\lim=1,
o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe de forma única. Portanto não pode ser igual a 1.

Resposta

A função f não é contínua em P=(0,0).

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