Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
que é um limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar coordenadas polares e o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
onde r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} e \theta é o ângulo. Substituindo na função, obtemos
\frac{x^{2}y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{(r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta)}{r} = r^{2}\,\cos^{2}\theta\,\sin\theta.

Passo 3

Observe que para todo \theta vale \bigl|\cos^{2}\theta\,\sin\theta\bigr|\le1. Logo
\left|r^{2}\cos^{2}\theta\sin\theta\right| \le r^{2}\,\bigl|\cos^{2}\theta\sin\theta\bigr| \le r^{2}.
Como \lim_{r\to0}r^{2}=0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{r\to0}r^{2}\cos^{2}\theta\sin\theta = 0.

Resposta

0

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