Verifique se a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é contínua no ponto P indicado.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}, P=(0,0)\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{3}}{\,x^{2}+y^{2}\,},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se ela é contínua em P=(0,0). O conteúdo envolvido é cálculo de limite em duas variáveis para testar continuidade.

Passo 2

Pela definição, f é contínua em (0,0) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =f(0,0)=0.
Então precisamos mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 3

Usamos coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r=\sqrt{x^2+y^2}.
Para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,y) =\frac{(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)^{3}}{r^{2}} =r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta.

Passo 4

Tomando valor absoluto:
|f(x,y)| = r^{3}\,|\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta| \le r^{3}\cdot1 =r^{3},
pois |\cos^{2}\theta|\le1 e |\sin^{3}\theta|\le1.

Passo 5

Quando (x,y)\to(0,0), temos r\to0 e, portanto,
|f(x,y)|\le r^{3}\longrightarrow0.
Isto mostra que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Resposta

A função f é contínua em P=(0,0), pois \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).

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