S-3.47 Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros positivos
e
, vale
O conteúdo aqui é a definição de mínimo múltiplo comum (mmc) via fatoração em primos e a propriedade de que o expoente de cada primo no mmc é o máximo dos expoentes em cada número.
Passo 2
Sejam
as fatorações em números primos de
e
. Aqui cada
é um primo distinto, e
são inteiros não negativos.
Passo 3
Então
Passo 4
Pela definição de mmc via fatoração, temos
Passo 5
Analogamente,
Passo 6
Mas para quaisquer inteiros
vale
Logo
Passo 7
Reconhecemos que o produto dentro do parêntese é exatamente
. Portanto
que era o que queríamos demonstrar.
Resposta
Foi demonstrado que