S-3.47 Mostre que
mmc(a^2, b^2)=[,mmc(a, b)]^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros positivos a e b, vale
mmcl(a^2, b^2r) = l[mmc(a,b)r]^2
O conteúdo aqui é a definição de mínimo múltiplo comum (mmc) via fatoração em primos e a propriedade de que o expoente de cada primo no mmc é o máximo dos expoentes em cada número.

Passo 2

Sejam
a=prodipi^alphai, b=prodipi^betai,
as fatorações em números primos de a e b. Aqui cada pi é um primo distinto, e alphai,betai são inteiros não negativos.

Passo 3

Então
a^2=prodipi^2alphai, b^2=prodipi^2betai

Passo 4

Pela definição de mmc via fatoração, temos
mmc(a,b) = prodipi^max(alphai,betai)

Passo 5

Analogamente,
mmcl(a^2,b^2r) = prodipi^maxl(2alphai,,2betair)

Passo 6

Mas para quaisquer inteiros alphai,betai vale
maxl(2alphai,,2betair) =2,max(alphai,betai)
Logo
mmcl(a^2,b^2r) = prodipi^2,max(alphai,betai) = l(prodipi^max(alphai,betai)r)^2

Passo 7

Reconhecemos que o produto dentro do parêntese é exatamente mmc(a,b). Portanto
mmcl(a^2,b^2r) = l[mmc(a,b)r]^2,
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

Foi demonstrado que
mmcl(a^2,b^2r) = l[mmc(a,b)r]^2

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