Encontre partial wpartial r e partial wpartial s, onde w=6 x y z^2, x=r s, y=2 r+s, z=3 r^2-s+10r s, no ponto em que r=1 e s=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de w em relação a r e s . A função dada é w = 6xyz^2 , onde x = rs , y = 2r + s e z = 3r^2 - s + 10rs . Vamos calcular essas derivadas no ponto onde r = 1 e s = 2 . Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar w totalmente em termos de r e s . Substituindo x , y e z na expressão de w :
w = 6 cdot (rs) cdot (2r + s) cdot (3r^2 - s + 10rs)^2

Passo 3

Para encontrar partial wpartial r , vamos derivar w em relação a r , tratando s como constante. Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar essa expressão complexa.

Passo 4

Antes de derivar, vamos simplificar a expressão de z :
z = 3r^2 - s + 10rs
Agora, derivando z em relação a r :
partial zpartial r = 6r - 10s(rs)^2 = 6r - 10r^2 s

Passo 5

Agora, voltando para w = 6xyz^2 , a derivada parcial de w em relação a r é:
partial wpartial r = 6 ( partial (xyz^2)partial r ) = 6 ( y z^2 partial xpartial r + x z^2 partial ypartial r + x y cdot 2z cdot partial zpartial r )
Vamos calcular cada parte:
  • partial xpartial r = s
  • partial ypartial r = 2
  • Já calculamos partial zpartial r no passo anterior.

Passo 6

Substituindo os valores no ponto r = 1 e s = 2 :
Primeiro, calculemos x , y e z :
x = 1 cdot 2 = 2
y = 2 cdot 1 + 2 = 4
z = 3(1)^2 - 2 + 101 cdot 2 = 3 - 2 + 5 = 6
E a derivada de z :
partial zpartial r = 6(1) - 101^2 cdot 2 = 6 - 5 = 1

Passo 7

Agora, substituindo tudo na expressão da derivada:
partial wpartial r = 6 ( 4 cdot 6^2 cdot 2 + 2 cdot 6^2 cdot 2 + 2 cdot 4 cdot 2 cdot 1 )
Calculando passo a passo:
6^2 = 36
6 ( 4 cdot 36 cdot 2 + 2 cdot 36 cdot 2 + 2 cdot 4 cdot 2 cdot 1 ) = 6 ( 288 + 144 + 16 ) = 6 cdot 448 = 2688

Passo 8

Agora, vamos encontrar partial wpartial s . De maneira similar, derivamos w em relação a s :
partial wpartial s = 6 ( x z^2 partial ypartial s + y z^2 partial xpartial s + x y cdot 2z cdot partial zpartial s )
Primeiro, encontraremos as derivadas necessárias:
  • partial xpartial s = r
  • partial ypartial s = 1
  • Derivando z em relação a s :
partial zpartial s = -1 - 10r s^2

Passo 9

Substituindo no ponto r = 1 e s = 2 :
partial zpartial s = -1 - 101 cdot 2^2 = -1 - 104 = -1 - 2.5 = -3.5

Passo 10

Agora, substituindo tudo na expressão da derivada:
partial wpartial s = 6 ( 2 cdot 6^2 cdot 1 + 4 cdot 6^2 cdot 1 + 2 cdot 4 cdot 2 cdot (-3.5) )
Calculando passo a passo:
6 ( 72 + 144 - 56 ) = 6 cdot 160 = 960

Resposta

A derivada parcial de w em relação a r no ponto (1, 2) é partial wpartial r = 2688 e a derivada parcial em relação a s é partial wpartial s = 960 .

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