Encontre
e
, onde
, no ponto em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função dada é
, onde
,
e
. Vamos calcular essas derivadas no ponto onde
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
totalmente em termos de
e
. Substituindo
,
e
na expressão de
:
Passo 3
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
, tratando
como constante. Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar essa expressão complexa.
Passo 4
Antes de derivar, vamos simplificar a expressão de
:
Agora, derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, voltando para
, a derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos calcular cada parte:
-
-
- Já calculamos
no passo anterior.
Passo 6
Substituindo os valores no ponto
e
:
Primeiro, calculemos
,
e
:
E a derivada de
:
Passo 7
Agora, substituindo tudo na expressão da derivada:
Calculando passo a passo:
Passo 8
Agora, vamos encontrar
. De maneira similar, derivamos
em relação a
:
Primeiro, encontraremos as derivadas necessárias:
-
-
- Derivando
em relação a :
Passo 9
Substituindo no ponto
e
:
Passo 10
Agora, substituindo tudo na expressão da derivada:
Calculando passo a passo:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é
e a derivada parcial em relação a
é
.