Determine o limite se existir, ou mostre que não existe:
lim x+i y 0 x^3+y^3x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede
limx+iyto0x^3+y^3x^2+y^2
que em termos reais é
lim(x,y)to(0,0)x^3+y^3x^2+y^2
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis.

Passo 2

Para estudar esse limite de modo sistemático, passamos a coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta,
com r>=0 e theta qualquer. Então
x^2+y^2=r^2,
x^3+y^3=r^3(cos^3theta+sin^3theta)

Passo 3

Substituindo na função, obtemos
x^3+y^3x^2+y^2 =r^3(cos^3theta+sin^3theta)r^2 =rl(cos^3theta+sin^3thetar)
Como
l|cos^3theta+sin^3thetar| <=|cos^3theta|+|sin^3theta|<=1+1=2,
segue que
|x^3+y^3x^2+y^2|<=2r

Passo 4

Quando (x,y)to(0,0), temos rto0 e, portanto, 2rto0. Pelo critério do “encolhimento” (teorema do confronto),
x^3+y^3x^2+y^2longrightarrow0

Resposta

0

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