Encontre a aproximação linear da função
no ponto
. Use esta aproximação linear para calcular um valor aproximado para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aproximação linear da função
no ponto
. Depois, vamos usar essa aproximação para calcular um valor aproximado para
. Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e como construir uma aproximação linear de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
no ponto
. Isso nos dará o valor base para a nossa aproximação.
Vamos calcular passo a passo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Com o valor da função e suas derivadas parciais no ponto
, podemos construir a aproximação linear
. A fórmula da aproximação linear para funções de duas variáveis é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos usar essa aproximação para calcular
. Basta substituir
e
na expressão da aproximação linear:
Resposta
A aproximação linear de
é aproximadamente 325,93.