Encontre a aproximação linear da função f(x, y)=3 x^2-5 x^3 y^2+x-2 y^3+10 no ponto (-2,3). Use esta aproximação linear para calcular um valor aproximado para f(-2,01 ; 2,97).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aproximação linear da função f(x, y) = 3x^2 - 5x^3 y^2 + x - 2y^3 + 10 no ponto (-2, 3). Depois, vamos usar essa aproximação para calcular um valor aproximado para f(-2,01; 2,97) . Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e como construir uma aproximação linear de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função f no ponto (-2, 3). Isso nos dará o valor base para a nossa aproximação.
f(-2, 3) = 3(-2)^2 - 5(-2)^3(3)^2 + (-2) - 2(3)^3 + 10
Vamos calcular passo a passo:
f(-2, 3) = 3(4) - 5(-8)(9) + (-2) - 2(27) + 10
f(-2, 3) = 12 - 5(-72) - 2 - 54 + 10
f(-2, 3) = 12 + 360 - 2 - 54 + 10 = 326

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x (3x^2 - 5x^3 y^2 + x - 2y^3 + 10) = 6x - 15x^2 y^2 + 1
E a derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y (3x^2 - 5x^3 y^2 + x - 2y^3 + 10) = -10x^3 y - 6y^2

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas parciais no ponto (-2, 3).
Para fx(-2, 3) :
fx(-2, 3) = 6(-2) - 15(-2)^2(3)^2 + 1 = -12 - 15(4)(9) + 1 = -12 - 540 + 1 = -551
Para fy(-2, 3) :
fy(-2, 3) = -10(-2)^3(3) - 6(3)^2 = -10(-8)(3) - 54 = 240 - 54 = 186

Passo 5

Com o valor da função e suas derivadas parciais no ponto (-2, 3), podemos construir a aproximação linear L(x, y) . A fórmula da aproximação linear para funções de duas variáveis é:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo os valores que encontramos:
L(x, y) = 326 + (-551)(x - (-2)) + 186(y - 3)
L(x, y) = 326 - 551(x + 2) + 186(y - 3)

Passo 6

Agora, vamos usar essa aproximação para calcular f(-2,01; 2,97) . Basta substituir x = -2,01 e y = 2,97 na expressão da aproximação linear:
L(-2,01, 2,97) = 326 - 551(-2,01 + 2) + 186(2,97 - 3)
L(-2,01, 2,97) = 326 - 551(-0,01) + 186(-0,03)
L(-2,01, 2,97) = 326 + 5,51 - 5,58 = 325,93

Resposta

A aproximação linear de f(-2,01; 2,97) é aproximadamente 325,93.

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