Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=raizx^2+3 y^2 no ponto (-1,4, f(-1,4)).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função
z = f(x,y) = raizx^2 + 3y^2
no ponto (-1,4,f(-1,4)). Para isso vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente baseado no gradiente de f.

Passo 2

Primeiro calculamos a coordenada z0 = f(-1,4):
z0 = raiz(-1)^2 + 3cdot4^2 = raiz1 + 48 = 7
Logo o ponto de tangência é (-1,4,7).

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = xraizx^2 + 3y^2, fy(x,y) = 3yraizx^2 + 3y^2
Avaliando em (x,y)=(-1,4)
fx(-1,4) = -17, fy(-1,4) = 127

Passo 4

A equação do plano tangente em (a,b,z0) é
z - z0 = fx(a,b),(x - a) + fy(a,b),(y - b)
Substituindo a=-1, b=4, z0=7, fx=-tfrac17 e fy=tfrac127:
z - 7 = -17(x + 1) + 127(y - 4)
Multiplicando tudo por 7:
7(z - 7) = -(x+1) + 12(y-4) ;Longrightarrow; 7z - 49 = -x -1 +12y -48 ;Longrightarrow; x - 12y + 7z = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
x - 12y + 7z = 0,
que é equivalente a
z = 12y - x7

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